Numération
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5. Généralisation de la numération de position
La numération de position permet d'écrire des nombres extrêmement grands. En fait il n'y a pas de limite.
La base
Selon la base b de numération il faut plus ou moins de symboles (digit) pour écrire un nombre.
Exemples :
En base binaire (b = 2), il faut 2 digits : 0 et 1
En base décimale (b = 10), il faut 10 digits : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
En base héxadécimale (b = 16), il faut 16 digits : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F.
Remarque : en base 16, plutôt que d'inventer de nouveaux symboles, les créateurs de cette base ont simplement utilisé les premières lettres de l'alphabet pour compléter les symboles de la base 10. La base 16 est utilisée en programmation informatique.
Remarque : dans le langage courant, on ne sait exprimer les nombres que dans la base 10. C'est notre base de référence.
Le rang
La place du symbole dans le nombre définit son numéro de rang a.
Le numéro de rang se compte de droite à gauche en commençant par 0 (zéro).
Exemples :
Base binaire :
Base décimale :
Base héxadécimale :
Le poids
Le poids d'un rang est défini par le calcul : ba (b à la puissance a)
Exemples
Base binaire : b = 2
- le poids du rang 4 est : 24 = 16
- le poids du rang 10 est : 210 = 1024
- le poids de rang 0 est : 20 = 1
Base décimale : b = 10
- le poids du rang 2 est : 102 = 100
- le poids du rang 0 est : 100 = 1
Base héxadécimale : b = 16
- le poids du rang 3 est : 163 = 4096
- le poids du rang 0 est : 160 = 1
Observation
On remarquera que la base, le rang et le poids sont exprimés en base 10, notre base de référence.
Règle d'écriture
Pour spécifier la base d'un nombre, on indique la base en indice du nombre.
Exemple :
base binaire : (110110100101)2
base décimale : (12405)10 ou 12405 par défaut lorsque la base est omise le nombre est exprimé en base 10.
base héxadécimale : (12405)16 ; (E4CF5)16
Exercices
Faire les exercices Moodle de la partie 5. Généralisation de la numération de position.
