Numération

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6. Ecriture sous forme de polynôme

Rappel

La base b définit la forme de numération (binaire, ...) et le nombre de symboles utilisés.

Le rang a définit la position d'un symbole dans un nombre (a=0 pour le premier symbole à droite).

le poids p définit le facteur multiplicatif à appliquer au symbole au fonction de son rang : p = b^a.

Polynôme

Expression algébrique constituée par une somme algébrique de monômes (séparés par les signes + et –)
Définition dans le Petit Robert

Il s'agit d'un nombre ou d'une expression mathématique sous forme d'addition d'un symbole ou nombre à différentes puissances.

Exemples :

Application à la numération

Tout nombre pourra être écrit sous forme de polynôme fonction de la base b.

Exemple :

Base binaire :
Base décimale :
Base héxadécimale :

Conversion d'une base quelconque vers la base 10

En écrivant et calculant le polynôme on obtiend la valeur d'un nombre d'une base quelconque dans la base 10.

Exemples :

Base binaire :	(1001 0110)2	= 1x27 + 0x26 + 0x25 + 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = 1x128 + 0x64 + 0x32 + 1x16 + 0x8 + 1x4 + 1x2 + 0x1 = 128 + 0 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 150 ou (150)10
Base héxadécimale :	(CF7E)16	= 12x163 + 15x162 + 7x161 + 14x160 = 12x4096 + 15x256 + 7x16 + 14x1 = 49152 + 3840 + 112 + 14 = 53118 ou (53118)10

Généralisation

Tout nombre (anan-1...ai ...a3a2a1a0)b peut s'écrire sous forme d'un polynôme ai sont les symboles utilisés dans la base b i est le rang du symbole ai ; i varie de 0 à n n est le plus grand rang du nombre. (anan-1...ai ...a3a2a1a0)b = anxbn + an-1xbn-1 + ... + aixbi + ... + a3xb3 + a2xb2 + a1xb1 + a0xb0 Le résultat du polynôme donne la valeur du nombre dans la base 10.

 

Exercices

Faire les exercices Moodle de la partie 6. Ecriture sous forme de polynome.